对于参数为 \(\lambda = \frac{1}{2}\) 的指数分布，其概率密度函数为 \(f(x) = \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\)，其中 \(x > 0\)。 期望值 \(E(X)\) 的计算公式为： \[ E(X) = \int_{0}^{\infty} x f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \, dx \] 通过变量替换，令 \(u = \frac{x}{2}\)，则 \(dx = 2du\)，积分变为： \[ E(X) = \int_{0}^{\infty} 2u \cdot e^{-u} \cdot 2 \, du = 4 \int_{0}^{\infty} u e^{-u} \, du \] 利用分部积分法，设 \(u = u\) 和 \(dv = e^{-u} du\)，则 \(du = du\) 和 \(v = -e^{-u}\)，得到： \[ \int u e^{-u} \, du = -ue^{-u} - \int (-e^{-u}) \, du = -ue^{-u} + e^{-u} = (1-u)e^{-u} \] 因此： \[ E(X) = 4 \left[ (1-u)e^{-u} \right]_{0}^{\infty} = 4 \left[ 0 - (1-0)e^{-0} \right] = 4 \times 1 = 4 \] 所以正确答案是选项D.4。